1. Не совсем понятно, как эта ручка крепится. По фото, где винты - там стенка с противоположной стороны, если не ошибаюсь. Т.е. головки винтов - со стороны ручки. Т.е отверстие под винт не сквозное.
Соотв. Нужно смотреть ручку, цела ли она, можно ли прикрутить.
Обычно, когда вырывает ручку - она идёт в утиль.
2. Винты в определенных случая конструктивно могут не выкручиваться. Такая забота о клиентах - чтоб не теряли. Но это маловероятно. Скорее какая-то ржавчина внутри.
Это нужно смотреть состояние впресованной гильзы, цела ли там резьба, можно ли продолжать пользоваться, как есть.
3. Приклеивать ручку к керамике - только если для красоты и эту ручку никто трогать не будет. Нет там достаточного пятна контакта, чтоб она держалась, если кто-то за нее возьмётся.
4. Крутить винты без живой ручки - смысла нет.
5. Если шансов с ручкой\винтами мало - найти пластиковые белые колпачки и закрыть (вклеить на герметик\клей) винты. ..и представить, что ее и не было.

И да, отпиливать винты тоже смысла нет, т.к. часть винта, которая в гильзе, останется в ней и ее потом точно не вытащить..

Не за что.

если только ради заделки дырок.
но они изначально хотели реанимировать ручку )

* не уверен ,что там гайка. Скорее втулка запресованная. Иначе, чтоб прикрутить ручки нужно было бы лезть под ванную. (если вообще возможно туда пробраться).
это нужно быть мега странным инженером, чтоб такое заколхозить.
но все может быть.
очень мало вводных данных для однозначного диагноза
нужно щупать руками, а не по описанию )

ну да, где-то так и д.б.
разберутся, я думаю.