а когда показывает рабочий стол, то что? выключается потом или просто не реагирует на элементы управления?
из идей - первое, что проверить - тут или кнопка не работает или залипла, или если платы на разъемах, может слетел какой разъём, или отвал чипа какого-нибудь. ну, а варианты похуже - это или неисправность чего-то, например, память протёрлась и иногда нормально считывается/пишется, а иногда - нет.

Если средний контакт, это термистор. Может, он диагностировал неисправность и не включался. Вполне.
Как говорила моя бабушка, правильно питание - залог здоровья, всегда ремонт нужно начинать с проверки питания :) респект Вам :)