В посольство в никосию.
Запись через сайт посольства
Перевод справки из роддома на русский - обязательно, а ребёнка предъявлять не нужно

Я подавал доки на загранпаспорт старого образца (без биометрики на 5 лет) и гражданство для новорожденного ребёнка, в августе, привёз две фотки, ни на подачу ни на получение самого ребёнка не возил

Да, свидетельство за неделю до этого получил, тоже без предъявления самого ребенка)

Впрочем предыдущим детям ещё в рф все эти документы без предъявления самих детей выдавали, так что ничего удивительного

Нужно сделать 3 вещи
1. Свидетельство о рождении https://cyprus.mid.ru/voprosy-zags
2. Гражданство https://cyprus.mid.ru/grazdanstvo-rossijskoj-federacii
3. Загранпаспорт рф https://cyprus.mid.ru/zamena-pasportov

Съездить придётся несколько раз.
Сначала получаете свидетельство рождении. Потом подаёте заявку на получение гражданства рф на основе номера свидетельства о рождении. На основе полученного гражданства (печать ставят в свидетельство о рождении) можно податься на загранпаспорт.
На пункты 2 и 3 вам порекомендуют записаться в один день в посольстве, но нужно прям реально две заявки через сайт им отправить