По логике на той же стороне чините машину, по страховке получаете всю или частичную сумму за ремонт, потом уже едете сдаваться на осмотр туда где брали машину в аренду.

Если сразу обратились в греческую полицию, то конечно не разрешат. Это же все еще условно незаконно. Не вижу причин для отказа со стороны турецкой страховой и их же ремонтных служб. Они менее категоричные чем греки.

Я конечно не советчик, но фирмы тут всегда предупреждают что ездить на ту сторону атата. И их личный запрет на ремонт автомобиля понятен. Но для них это скорее дело принципа. С другой стороны этот вопрос должен быть оговорен в договоре. Может ли арендатор сам чинить (в любой мере) автомобиль или только сам арендодатель.

Если есть подтверждение северной полиции что виноват не он, то в страховой можно не чиниться, а получить компенсацию и уже чинить самим на юге.

Оценку как правило делает страховая, или за свой счет вызывать оценщика. Опять же если в договоре со страховкой нет пункта касательно того что оценка только с их стороны.

Надо смотреть что написано в договоре. На словах могут все что угодно сказать.