по логике - нужна, но не спросят :)
А вот распечатку еврозакона, что вас туда надо пускать по кипрскому ВНЖ лучше при себе иметь

я примерно так же, имея болгарский документик, летал на Кипр. (а понятно, что правила симметричны для Кипра, Болгарии, Румынии и Хорватии)
У пограничников вопросов не возникало (они в курсе), а вот авиакомпании перед посадкой звонили куда-то и выясняли, можно ли так

с действующей шенгенской визой в Румынии проблем возникать не должно вообще - вне зависимости от кипрских документов. Я бы на вашем месте, при наличии действующего шенгена в Румынии вообще никаких кипрских документов не показывал

на Хорватию и Болгарию распространяются точно те же правила. Они в еврозаконе через запятую. Кипр тоже, кстати